MENENTUKAN NILAI OPTIMUM PROGRAM LINEAR

 Materi Matematika Kelas XI Semester Ganjil

PROGRAM LINEAR

(Bagian III: Menentukan Nilai Optimum)

Oleh Ustadz MUTTAQIN Anang Toha

Pada bagian kedua materi program linear kita sudah membahas tentang model matematika dan cara menggambar grafik pertidaksamaan linear. Pada bagian ketiga ini kita akan melanjutkan kepada pembahasan tentang cara menentukan nilai optimum dari program linear.

Berdasarkan Langkah-langkah Menentukan Nilai Optimum dengan Menggunakan Metode Program Linear yang sudah dibahas pada bagian pertama, pada pembahasan ketiga kali ini kita akan membahas langkah 4 - 6. 

Langkah-langkah menentukan nilai optimum adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi-fungsi kendala dari persoalan yang diberikan dengan menuliskan persoalan kontekstual dalam model matematika atau menuliskannya dalam bentuk pertidaksamaan-pertidaksamaan linear. 

2. Menentukan fungsi objektif atau fungsi tujuan.

3. Mengambar grafik linear dari model matematika yang telah disusun.

4. Menentukan letak daerah penyelesaian (DP) dari semua fungsi atau pertidaksamaan linear yang sudah digambar grafiknya.

5. Menentukan koordinat titik-titik potong kurva yang membentuk Daerah Penyelesaian (DP) dalam grafik yang telah digambar.

6. Menghitung nilai optimal dari fungsi tujuan.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Toko "Ummi SyamWan" menjual beberapa jenis obat-obat herbal antara lain Madu Lebah dan Kapsul Habbatussauda. Etalase toko Ummi Syamil dapat menampung maksimum 80 botol kemasan obat herbal. Modal yang harus dikeluarkan untuk membeli masing-masing produk obat herbal adalah Rp80.000,- per botol madu dan Rp50.000,- per botol Kapsul Habbatussauda. Toko Ummi SyamWan menyiapkan modal sebesar Rp5.000.000,- untuk membeli kedua produk tersebut dengan harapan mendapatkan keuntungan maksimal. Jika keuntungan untuk setiap produk berturut-turut adalah Rp20.000,- dan Rp10.000,- tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh toko "Ummi Syanwan"?

Penyelesaian:

Misalkan x = jumlah botol kemasan Madu Lebah dan y = jumlah botol kemasan Kapsul Habbatussauda, maka model matematika persoalan dibatas adalah sebagai berikut:

x + y ≤ 80

8x + 5y ≤ 500

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi objektifnya: 

f(x) = 20.000x + 10.000y

Grafik Daerah Penyelesaiannya:

Pembahasan lengkap sampai grafik di atas lihat kembali materi: Bagian II; Model Matematika dan Grafik pertidaksamaan Linear

Langkah selanjutnya adalah menentukan koordinat titik-titik potong kurva yang membentuk Daerah Penyelesaian (DP).

Dari grafik di atas, Daerah Penyelesaian dibentuk oleh 4 buah titik potong kurva, yaitu:

I. Titik A : Perpotongan antara garis x + y = 80 dan garis x = 0.

Koordinat titik A terdapat pada x = 0 dan y = 80 atau A (0, 80)

Ordinat y = 80 diperoleh dengan mensubstitusi x = 0 ke persamaan x + y = 80

II. Titik B : Perpotongan antara garis x + y = 80 dan 8x + 5y = 500.

Untuk menentukan koordinat titik B dapat digunakan metode eliminasi dan substitusi sebagai berikut:

Jadi koordinat titik B adalah (33,33 , 46,67)

III. Titik C : Perpotongan antara garis 8x + 5y = 500 dan garis y = 0.

Koordinat titik C terdapat pada x = 62,5 dan y = 0 atau A (62,5 , 0)

Absis x = 62,5 diperoleh dengan mensubstitusi y = 0 ke persamaan 8x + 5y = 500, sebagai berikut:

IV. Titik O : Perpotongan antara garis x = 0 dan garis y = 0

Koordinat titik O adalah (0,0).

Jadi Daerah Penyelesaian (DP) terbentuk oleh 4 ruas garis yang melalui 4 titik sudut, berikut:

Titik A (0, 80)

Titik B (33,33 , 46, 67)

Titik C (62,5 , 0)

Titik O (0,0)

Selanjutnya substitusikan koordinat titik-titik tersebut ke persamaan fungsi objektif untuk menentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh toko Umi SyamWan.

Fungsi objektifnya: 

f(x) = 20.000x + 10.000y

Perhatikan tabel berikut:

Dari tabel di atas diketahui bahwa nilai terbesar dari fungsi objektif terdapat pada titik C.

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh toko Ummi SyamWan adalah sebesar Rp1.250.000,00.

Keuntungan maksimal ini dapat diperoleh jika toko Ummi SyamWan menggunakan semua modal yang dipunyai untuk membeli madu lebah sebayak 62,5 botol)

Latihan Soal

Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan penumpang kelas ekonomi boleh membawa maksimum 20 kilogram. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kilogram. Harga tiket kelas utama Rp1.500.000,00 dan kelas ekonomi Rp1.000.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama.

Silahkan tulis jawaban anda disertai dengan langkah-langkah (jalan) penyelesaiannya di buku latihan. 

Tuliskan jumlah tempat duduk kelas utama yang anda temukan pada kolom komentar blog ini. Sertakan nama, kelas dan nama sekolah anda!