Model Matematika dan Grafik Daerah Penyelesaian

Materi Matematika Kelas XI Semester Ganjil

PROGRAM LINEAR

(Bagian II: Model Matematika dan Grafik Daerah Penyelesaian)

Oleh Ustadz MUTTAQIN Anang Toha

Model Matematika dan Menggambar Grafik Sistem Pertidaksamaan Linear

Setelah kita mengingat kembali tentang persamaan dan pertidaksamaan linear, pada bagian kedua ini kita akan membahas tentang bagaimana menentukan model matematika dan menggambar grafik sistem pertidaksamaan linear dari suatu soal cerita yang diberikan. 

Berdasarkan Langkah-langkah Menentukan Nilai Optimum dengan Menggunakan Metode Program Linear yang sudah dibahas pada bagian pertama, pada pembahasan kedua ini kita akan membahas langkah 1 - 3, yaitu:

1. Menentukan fungsi-fungsi kendala dari persoalan yang diberikan dengan menuliskan persoalan kontekstual dalam model matematika atau menuliskannya dalam bentuk pertidaksamaan-pertidaksamaan linear. 

2. Menentukan fungsi objektif atau fungsi tujuan.

3. Mengambar grafik linear dari model matematika yang telah disusun.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Toko "Ummi SyamWan" menjual beberapa jenis obat-obat herbal antara lain Madu Lebah dan Kapsul Habbatussauda. Etalase toko Ummi Syamil dapat menampung maksimum 80 botol kemasan obat herbal. Modal yang harus dikeluarkan untuk membeli masing-masing produk obat herbal adalah Rp80.000,- per botol madu dan Rp50.000,- per botol Kapsul Habbatussauda. Toko Ummi SyamWan menyiapkan modal sebesar Rp5.000.000,- untuk membeli kedua produk tersebut dengan harapan mendapatkan keuntungan maksimal. Jika keuntungan untuk setiap produk berturut-turut adalah Rp20.000,- dan Rp10.000,- tentukan:

a. Model Matematika dari persoalan di atas!

b. Grafik Daerah Penyelesaiannya!

Penyelesaian:

a. Model Matematika

Dari soal cerita di atas, untuk mendapatkan keuntungan maksimal Toko Ummi SyamWan dibatasi oleh :

1. Kapasitas tempat yaitu maksimum hanya dapat menampung 80 botol kemasan obat herbal

2. Besar Modal yaitu maksimum Rp5.000.000,-

Misalkan x = jumlah botol kemasan Madu Lebah dan y = jumlah botol kemasan Kapsul Habbatussauda, maka didapatkan fungsi Kendala sebagai berikut:

x + y ≤ 80

80.000x + 50.000y ≤ 5.000.000

atau

x + y ≤ 80

8x + 5y ≤ 500

Dengan jumlah minimum madu lebah yang dibeli adalah 0 botol (x ≥ 0) dan jumlah minimum kapsul habbatussauda yang dibeli adalah 0 botol (y ≥ 0).

Fungsi objektif atau fungsi tujuan didapat dari informasi tentang besar keuntungan yang didapatkan tiap botol kemasan obat herbal, yaitu Rp20.000,- untuk tiap botol kemasan Madu Lebah dan Rp10.000,- untuk tiap botol kemasan Kapsul Habbatussauda. Dalam bentuk fungsi dapat ditulis sebagai berikut:

f(x) = 20.000x + 10.000y

Jadi model matematika dari soal di atas adalah:

x + y ≤ 80

8x + 5y ≤ 500

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi objektifnya: 

f(x) = 20.000x + 10.000y

b. Grafik Daerah Penyelesaian

Grafik Daerah Penyelesaian diperoleh dari fungsi kendala.

Berdasarkan model matematika pada poin a, ada 4 fungsi kendala, maka terdapat 4 buah pula garis yang akan digambarkan pada bidang cartesius, yaitu:

Garis x = 0

Daerah Penyelesaian (DP) dari x ≥ 0 adalah daerah yang tidak diarsir.

Garis y = 0

Daerah Penyelesaian (DP) dari y ≥ 0 adalah daerah yang tidak diarsir.

Garis x + y = 80

Daerah Penyelesaian (DP) dari x + y ≤ 0 adalah daerah yang tidak diarsir.

Garis 8x + 5y = 500

Daerah Penyelesaian (DP) dari  8x + 5y ≤ 500 adalah daerah yang tidak diarsir.

Keempat garis di atas digabungkan dalam satu bidang cartesius untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari persoalan di atas, yaitu sebagai berikut:

Latihan Soal

Diketahui luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung tempat parkir maksimum 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,-/jam dan mobil besar Rp2.000,-/jam. Buatlah model matematika dan grafik Daerah Penyelesaian masalah tersebut!

Silahkan tulis jawaban anda disertai dengan langkah-langkah (jalan) penyelesaiannya di buku latihan. 

Tuliskan Model Matematika yang anda temukan pada kolom komentar blog ini. Sertakan nama, kelas dan nama sekolah anda!