BARISAN GEOMETRI

BARISAN GEOMETRI

Materi Matematika Wajib Kelas XI SMA Negeri 1 Tanjung Batu

Oleh Ustadz MUTTAQIN Anang Toha

 

UMAT (Ustadz MUTTAQIN Anang Toha)

مَّثَلُ ٱلَّذِينَ يُنفِقُونَ أَمْوَٰلَهُمْ فِى سَبِيلِ ٱللَّهِ كَمَثَلِ حَبَّةٍ أَنۢبَتَتْ سَبْعَ سَنَابِلَ فِى كُلِّ سُنۢبُلَةٍ مِّا۟ئَةُ حَبَّةٍ ۗ وَٱللَّهُ يُضَٰعِفُ لِمَن يَشَآءُ ۗ وَٱللَّهُ وَٰسِعٌ عَلِيمٌ 

"Perumpamaan (nafkah yang dikeluarkan oleh) orang-orang yang menafkahkan hartanya di jalan Allah adalah serupa dengan sebutir benih yang menumbuhkan tujuh bulir, pada tiap-tiap bulir seratus biji. Allah melipat gandakan (ganjaran) bagi siapa yang Dia kehendaki. Dan Allah Maha Luas (karunia-Nya) lagi Maha Mengetahui." (QS. Al Baqarah : 261)

Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan pola yang berdasarkan operasi perkalian atau pembagian.Selisih antara dua suku berurutan pada barisan geometri disebut rasio yang dilambangkan dengan r.

Rumus untuk menentukan rasio pada barisan geometri adalah sebagai berikut:

r = U_n / U_{n – 1} atau

r = U_n+1 / U_n

Keterangan:

r           = rasio;

U_n        = suku ke-n;

U_{n – 1}     = suku sebelum suku ke-n;

U_{n + 1}     = suku sesudah suku ke-n; dan

n          = banyaknya suku.

 

Perhatikan barisan bilangan geometri berikut.

a. 3, 6, 12, 24, 48, ......

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2. Angka 2 diperoleh dari : r = 6/3 atau r = 12/6 atau r = 24/12 atau r = 48/24 dan seterusnya.

b. 81, 27, 9, 3, 1, ......

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 1/3. Angka 1/3 diperoleh dari : r = 27/81 atau r = 9/27 atau r = 3/9 atau r = 1/3 dan seterusnya.

Maka, berdasarkan nilai rasio, Barisan Geometri dapat dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:

1. Barisan Geometri Naik, jika r bernilai lebih besar dari 1dan

2. Barisan Geometri Turun, jika r berinilai lebih kecil dari 1

 

Bentuk Umum dan Rumus Suku ke-n Dari Barisan Geometri

Misalkan barisan berikut adalah barisan geometri,

U1, U2, U3, U4, U5, …, Un

Misalkan, jika U₁ = a, maka

U₂ = U₁ × r = ar

U₃ = U₂ × r = ar²

U₄ = U₃ × r = ar³

U₅ = U₄ × r = ar⁴

U₆ = U₅ × r = ar⁵

…

Un = U_n-1 x r = ar^(n-1)

Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut:

Un = ar^(n-1)

 

Bentuk umum barisan geometri dapat ditulis sebagai berikut:

U₁, U₂, U₃, …….., U_n atau

a, ar, ar², ar³, …, ar^(n-2), ar^(n-1)

Daftar Umroh Samo UMAT

Contoh Soal

1. Tentukan suku ke-10 dari barisan 2, 4, 8, 16, ….. !

 

Pembahasan:

 

Diketahui:

n = 10

a = 2

r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 2

Maka U₁₀ =…

 

Un = ar^{(n – 1)}

U₁₀ = 2 . 2^{(10 – 1)}

U₁₀ = 2 . 2⁹

U₁₀ = 2 . 512

U₁₀ = 1024

Jadi, suku ke- 10 adalah 1024

 

2. Suku ke-3 suatu barisan geometri adalah 125. Jika suku ke-7 barisan tersebut adalah 78125, tentukan suku ke-5!

 

Pembahasan:

 

Diketahui:

U₃ = 125

U₇ = 78125

n = 5

Maka U₅ =…

 

Dari rumus yang sudah dipelajari di atas, didapatkan bahwa:

U₃ = ar³ = 125 dan U₇ = ar⁶ = 78125

 

Untuk menentukan nilai a dan r dapat digunakan metode sebagai berikut:

U₇   =               ar⁶ = 78125

U₃   =               ar² = 125      (:)

  r⁶/r²   = 78125/125

  r^6-2     = 625

  r⁴       = 5⁴

  r         = 5

Karena r = 5, maka nilai suku pertama (a) didapat:

U₃ = 125

ar² = 125

a . 5² = 125

a . 25 = 125

a = 125 / 25

a = 5

 

Sehingga suku ke-5 adalah:

Un = ar^{(n – 1)}

U₅ = 5 . 5^{(5 – 1)}

U₅₀ = 5 . 5⁴

U₅₀ = 5 . 625

U₅₀ = 3125

Jadi, suku ke- 5 adalah 3125

Latihan Soal

Diketahui suatu suku ke-5 dan suku ke-9 dari barisan geometri adalah 512 dan 32. Tentukan rasio, suku pertama, dan suku ke- 12 barisan tersebut!

Silahkan tulis jawab anda di kolom komentar dengan melampirkan Nama, Kelas dan Asal Sekolah!