DERET GEOMETRI

DERET GEOMETRI

Oleh Ustadz MUTTAQIN Anang Toha

Materi Matematika Wajib Kelas XI SMA NEGERI 1 TANJUNG BATU

“Sesungguhnya Allah telah menetapkan kebaikan dan keburukan, kemudian menjelaskan hal tersebut : Siapa yang ingin melaksanakan kebaikan kemudian dia tidak mengamalkannya, maka dicatat disisi-Nya sebagai satu kebaikan penuh. Dan jika dia berniat melakukannya dan kemudian melaksanakannya maka Allah akan mencatatnya sebagai sepuluh kebaikan hingga tujuh ratus kali lipat bahkan hingga kelipatan yang banyak. Dan jika dia berniat melaksanakan keburukan kemudian dia tidak melaksanakannya maka baginya satu kebaikan penuh, sedangkan jika dia berniat kemudian dia melaksanakannya Allah mencatatnya sebagai satu keburukan“.

(Riwayat Al Bukhari dan Muslim)

Deret Geometri adalah jumlah suku-suku pada barisan geometri.

Jadi, deret geometri dari barisan :

2, 4, 8, 16, 32, 64

adalah 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126.

Deret geometri atau deret ukur disimbolkan dengan Sn

Mencari Rumus Jumlah Suku Ke-n (Rumus Deret Geometri)

Perhatikan kembali pola barisan geometri ini,

2, 4, 8, 16, 32, 64, …

maka,

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + … + Un
Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + … + arn-1

Misalkan persamaan ini kita sebut persamaan (1).

Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r akan kita dapatkan:

-rSn = -ar - ar2 - ar3 - ar4 - ar5 - … - arn-1 - arn

Misalkan persamaan baru ini kita sebut persamaan (2).

Selanjutnya persamaan (1) kita jumlahkan dengan persamaan (2), kita akan mendapatkan persamaan sebagai berikut:

Rumus ini biasa digunakan bila nilai rasio (r) < 1.

Sedangkan jika nilai rasionya > 1 maka menggunakan rumus berikut ini:

Di mana nilai r tidak boleh sama dengan 1.

Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga

Barisan dan deret geometri tak hingga dibagi menjadi dua jenis, yaitu tak hingga divergen dan tak hingga konvergen.

Keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Mari kita lihat pengertian dari kedua jenis barisan tak hingga tersebut beserta perbedaannya.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

2 + 4 +8 + 16 + 32 + …

Jika ditanya berapa jumlah seluruhnya?

Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan divergen, deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini,

8 +4 +2 + 1 + 1⁄2 + 1⁄4 + …

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Cara menghitung deret geometri tak hingga konvergen

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif maupun positif.

Rumus menghitung jumlah tak hingga dari deret geometri berikut

8 +4 +2 + 1 + 1⁄2 + 1⁄4 + …

diketahui a = 8

r = 1⁄2

Maka deret tak hingganya adalah

Jadi hasil jumlah S tak hingga nya adalah 16. Ingat ya, pada deret geometri tak hingga, kita dapat mencari jumlah dari keseluruhannya. Hal ini dikarenakan nilainya yang semakin mengecil dan mendekati 0.

Contoh Soal :

1. Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah …

Penyelesaian :

Diketahui :

• a = 2
• r = U2 / U1
• r = 6/2
• r = 3

Ditanya :

• S6 = ?

Jawab :

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 5 m di lantai. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian ½ kali tinggi sebelumnya, demikian seterusnya. Carilah jarak yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti!

Jawab :

Kalau memakai rumus biasa, maka caranya adalah :

(i) Jarak yang ditempuh pada waktu turun = 5+ 5/2+ 5/4

• a = 5/2 ; r = ½ ;
• S~ = a/1-r
• S~ = 5/1-½
• S~ = 5/½
• S~ = 10

(ii) Jarak yang ditempuh pada waktu naik = 5/2+5/4+5/8+…

• a = 5/2
• r = ½
• S~ = a/1-r
• S~ = (5/2) / 1-½
• S~ = 5

Jadi, jarak yang ditempuh bola tersebut = jarak tempuh turun + jarak tempuh naik

= (10+5) m

= 15 m

Latihan Soal:

1.  Tentukan jumlah tujuh suku pertama dari deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +…!

2. Berapa jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374!

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Bola memantul ke atas setelah mengenai lantai dengan ketinggian 3/5 dari ketinggian semula, begitu seterusnya. Tentukan Panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti!

Buatlah pembahasan latihan soal di atas di buku tugasmu, lalu tuliskan kesimpulan hasil pembahasannya di kolom komentar!

Like dan subscribe channel YouTube Ustadz MUTTAQIN Anang Toha, ya! Terima kasih.