SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (PEUBAH)

Materi Matematika Wajib Kelas X

Oleh Ustadz MUTTAQIN Anang Toha

Sistem pesamaan linear tiga variabel adalah pesamaan yang tediri dari bebeapa buah persamaan linear dengan tiga variabel (peubah). Bentuk umum dari pesamaan linear tiga variabel adalah:

ax + by + cz = d

dimana :

a, b, c, dan d adalah bilangan real yang tidak bernilai nol.

x, y, dan z adalah bilangan real yang merupakan variabel (peubah) yang dimaksudkan dalam definisi (pengetian) di atas.

Himpunan penyelesaian Sistem Pesamaan Linear Tiga Varibel dapat ditentukan dengan :

1. Metode Substitusi

2. Metode Eliminasi

3. Metode Campuran Substitusi dan Eliminasi

4. Menggunakan grafik cartesius

Pada kesempatan ini saya akan menyampaikan penyelesaana sistem pesamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi dan campuran substitusi-eliminasi, sebagai beikut:

Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode penyelesaan sistem persamaan linear dengan memasukkan/mengganti/mensubstitusi nila salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lan. Metode ini dilakukan sampai diperoleh semua nilai variabel x, y, dan z yang ada dalam sistem persamaan linear tiga variabel.

Pehatikan penyelesaian contoh soal berikut:

Diketahui sistem pesamaan linear tiga variabel:

x + y + z = 6

x - 2y - z = 3

-2x + y + z = 9

Tentukan nilai varibel x, y dan z!

Langkah I:

Kita buat permisalan sbb:

x + y + z = 6 ........... (persamaan 1)

x - 2y - z = 3............ (pesamaan 2)

-2x + y + z = 9.........(persamaan 3)

Langkah II:

Ubah persamaan (1) menjadi x = ...., atau y= ...., atau z = ..... misalkan z = 6 - x - y lalu persamaan z = 6 - x - y kita misalkan sebagai persamaan (4). Kemudian kita substitusikan ke dalam persamaan (2), sebagai beikut:

x - 2y - z = 3 .........(2) karena di atas kita sudah mendapatkan z = 6 - x - y, maka

x - 2y - (6 - x - y) = 3 atau

x - 2y - 6 + x + y = 3 atau

x + x - 2y + y - 6 = 3 atau

2x - y - 6 = 3 atau

2x - y = 9 ......... kita misalkan sebagai persamaan (5).

Langkah III

Kita kembali mensubstitusikan pesamaan (4) kali ini ke persamaan (3), sebagai berikut:

-2x + y + z = 9 ........ (3) karena di atas kita sudah mendapatkan z = 6 - x - y, maka

-2x + y + (6 - x - y) = 9 atau

-2x + y + 6 - x - y = 9 atau

-2x - x + y - y + 6 = 9 atau

-3x + 6 = 9 atau

-3x = 9 - 6 atau

-3x = 3 atau

x = 3 : -3 atau

x = -1 ........ kita misalkan sebagai persamaan (6)

Langkah IV

Dari langkah II dan III kita mendapatkan persamaan baru:

2x - y = 9 ........ (5)

x = -1 .............. (6)

Selanjutnya kita dapat langsung mensubtitusikan persamaan (6) ke persamaan (5), sehingga kita dapat mempeoleh nilai dari varibel y sebagai berikut:

2x - y = 9 ....... karena x = -1 maka

2(-1) - y = 9 atau

-2 - y = 9 atau

-y = 9 + 2 atau

-y = 11 atau

y = -11 .............(7)

Langkah V

Dari langkah sebelumnya kita sudah mendapatkan nilai x = -1 dan y = -11, maka untuk menemukan nilai varibel z kita tinggal mensubstitusikan x = -1 dan y = -11 ke salah satu persamaan (1), (2) atau (3). Misalkan kita substitusikan ke persamaan (3), sebagai berikut:

-2x + y + z = 9 ............. karena kita sudah mendapatkan x = -1 dan y = -11, maka

-2(-1) + (-11) + z = 9 atau

2 - 11 + z = 9 atau

-9 + z = 9 atau

z = 9 + 9 atau

z = 18 ............ (8)

Dengan demikian kita dapatkan himpunan penyelesaan sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan sebaga berikut:

(x, y, z) = ( -1, -11, 18)

Metode Campuran Substitusi-Eliminasi

Metode eliminasi adalah metode penyelesaan sistem pesamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode ini dilakukan sampai tesisa satu buah variabel.

Metode campuran adalah metode yang menggunakan campuran metode substitusi dan eliminasi. Untuk lebih mudah kita gunakan metode eliminasi telebih dahulu sampai didapatkan satu atau dua variabel, kemudian kedua variabel tersebut di substitusikan ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai variabel yang tesisa.

Pehatikan penyelesaian contoh soal sebelumnya dengan metode eliminasi sebagai berikut:

Diketahui sistem pesamaan linear tiga variabel:

x + y + z = 6 ............ (1)

x - 2y - z = 3............. (2)

-2x + y + z = 9.......... (3)

Tentukan nilai varibel x, y dan z!

Langkah I

Kita eliminasi satu variabel dalam dua persamaan, misalnya persamaan (1) dan (2), sebagai berikut:

x + y + z = 6 ............ (1)

x - 2y - z = 3............. (2)

Misal kita eliminasi variabel z, sehingga dipeoleh:

Karena variabel z dalam dua pesamaan di atas koefisiennya sudah sama tetapi nilai (tanda didepan)nya berbeda, maka kita jumlahkan kedua persamaan tesebut:

x + y + z = 6

x - 2y - z = 3 (+)  atau

2x - y + 0 = 9 atau

2x - y = 9 .......... (4)

Langkah II

Kita ambil dua persamaan lagi untuk kita eliminasi satu varibel dalam dua persamaan tersebut, pilihan yang dapat kita ambil adalah (1) dan (3) atau (2) dan (3). Misalkan kita ambil persamaan (1) dan (3).

x + y + z = 6 ............ (1)

-2x + y + z = 9.......... (3)

Karena pada langkah I kita mengeliminasi variabel z, maka pada langkah II ini kita juga akan mengeliminasi variabel z. Karena variabel z pada persamaan (1) dan (3) bernilai sama, maka kita jalankan operasi penguarangan,

x + y + z = 6 

-2x + y + z = 9 (-)  atau

3x + 0 + 0 = -3 atau

3x = - 3 atau

x = -3 : 3 atau

x = -1 ........ (5)

Langkah III

Dari langkah I dan II kita mendapatkan dua persamaan baru, yaitu pesamaan (4) dan (5), selanjutnya kita eliminasi satu variabel dalam kedua persamaan tersebut, sebagai berikut:

2x - y = 9 .......... (4)

  x      = -1 ........ (5)

Karena pada persamaan (5) variabel y = 0, maka yang kita eliminasi dari kedua persamaan adalah variabel x. Karena koefisien x dari kedua persamaan tersebut berbeda, maka semua suku pada persamaan (5) kita kalikan dengan 2, sehingga variabel x dapat dieliminasi.

2x - y = 9     x 1

  x      = -1    x 2

atau

2x - y = 9   

2x       = -2  

Selanjutnya kita eliminasi variabel x

2x - y = 9   

2x       = -2  (-)

0  - y = 11  atau

y = -11 .......... (6)

Langkah IV

Dari langkah II dan III kita sudah mendapatkan nilai x = -1 dan y = -11, sesunggunya kita dapat menemukan nilai variabel z dengan mensubstitusikan variabel x dan y tersebut ke salah satu pesamaan, misalkan persamaan (1), sebaga berikut:

x + y + z = 6 ............ (1) Substitusikan x = -1 dan y = -11, sehingga didapatkan

-1 + (-11) + z = 6 atau

-1 - 11 + z = 6 atau

-12 + z = 6 atau

z = 6 + 12 atau

z = 18 .........(7)

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah:

(x,y,z) = (-1, -11, 18)

Latihan Soal

Tentukan himpunan penyelesaan sistem pesamaan linear tiga variabel berikut:

x - 3y + z = 8

2x + 3y - z = 1

3x - 2y - 2z = 7

Tuliskan jawabanmu di kolom komentar!