BARISAN ARITMATIKA

BARISAN ARITMATIKA

Materi Matematika Wajib Kelas XI SMA Negeri 1 Tanjung Batu

Oleh 

Ustadz MUTTAQIN Anang Toha, ST

(U. M. A. T.)

Gambar : Program #UmrohSamo_UMAT

Sesungguhnya Allah mencintai orang-orang yang berperang di jalan-Nya dalam barisan yang teratur, mereka seakan-akan seperti suatu bangunan yang tersusun kokoh.

(QS. Ash-Shaff Ayat 4)

Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan dengan pola yang berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmatika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

b = U_n – U_{n – 1} atau

b = U_n+1 – U_n

Keterangan:

b          = beda;

U_n        = suku ke-n;

U_{n – 1}   = suku sebelum suku ke-n;

U_{n + 1}  = suku sesudah suku ke-n; dan

n          = banyaknya suku.

Bentuk Umum dan Rumus Suku ke-n Dari Barisan Aritmatika

Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

U₁, U₂, U₃, …….., U_n dengan n = bilangan Asli

Jika dimisalkan U₁ = suku pertama = a, dan  b = U_n – U_{n – 1} ; maka

U_n = U_{n – 1} + b

Sehingga U₂ dapat ditentukan sebagai berikut:

U_n = U_{n – 1} + b

U₂ = U_{2 – 1} + b ; atau

U₂ = U ₁ + b; atau

U₂ = a + b; atau

 

Dengan cara yang sama U₃ dapat ditentukan sebagai berikut:

U_n = U_{n – 1} + b

U₃ = U_{3 – 1} + b; atau

U₃ = U₂ + b; atau

U₃ = (b+a) + b; atau

U₃ = a + 2b

 

Dengan cara yang sama U₄ dapat ditentukan sebagai berikut:

U_n = U_{n – 1} + b

U₄ = U_{4 – 1} + b; atau

U₄ = U₃ + b; atau

U₄ = (a + 2b) + b; atau

U₄ = a + 3b

 

Dengan cara yang sama U₅ dapat ditentukan sebagai berikut:

U_n = U_{n – 1} + b

U₅ = U_{5 – 1} + b; atau

U₅ = U₄ + b; atau

U₅ = (a + 3b) + b; atau

U₅ = a + 4b

 

Dan seterusnya, sehingga dengan cara yang sama rumus suku ke-n atau U_n dapat ditentukan sebagai berikut:

U_n = U_{n – 1} + b

Un = a + (n – 1)b

 

Jadi bentuk umum barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut:

U₁, U₂, U₃, …….., U_n atau

a, a + b, a + 2b, a + 3b, …, a + (n-2)b, a + (n-1)b

 

Contoh Soal

1. Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 5, 8, 11, ….. !

 

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3

Maka U₂₀ =…

Un = a + (n – 1)b

U₂₀ = 2 + (20 – 1)3

U₂₀ = 2 + (19)3

U₂₀ = 2 + 57

U₂₀ = 59

Jadi, suku ke- 20 adalah 59

 

2. Suku ke-4 suatu barisan aritmatika adalah 19. Jika suku ke-7 barisan tersebut adalah 31, tentukan suku ke-50!

 

Pembahasan:

Diketahui:

U₄ = 19

U₇ = 31

n = 50

Maka U₅₀ =…

Dari rumus yang sudah dipelajari di atas, didapatkan bahwa:

U₄ = a + 3b = 19 dan U₇ = a + 6b = 31

 

Untuk menentukan nilai a dan b dapat digunakan metode eliminasi sebagai berikut:

U₇   =               a + 6b = 31

U₄   =               a + 3b = 19 -

      3b = 12

        b = 12/3

        b = 4

 

Karena b = 4, maka nilai suku pertama atau a didapat:

a + 3b = 19

a + 3(4) = 19

a + 12 = 19

a = 19 – 12

a = 7

 

Sehingga suku ke-50 adalah:

Un = a + (n – 1)b

U₅₀ = 7 + (50 – 1)4

U₅₀ = 7 + (49)4

U₅₀ = 7 + 196

U₅₀ = 203

Jadi, suku ke- 50 adalah 203

Latihan Soal:

1. Tentukan Suku ke-37 dari barisan berikut:

    a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ........

    b. 4, 1, -2, -5, -8, ........

2. Suku ke-3 dari suatu barisan aritmatika adalah 12. Jika suku ke-20 barisan tersebut adalah 63, tentukan suku ke 11!

3. Setiap hari Siti berniat menabungkan sisa uang jajannya. Uang yang akan ditabung Siti setiap hari  mengikuti pola barisa aritmatika dengan selisih Rp500,00 dari jumlah uang yang ditabungkan sebelumnya. Jika Siti memulai tabungan pertama Rp2.000,00 tentukan berapa rupiah uang yang harus ditabung Siti pada hari ke-15!

Silahkan tuliskan kesimpulan jawabanmu di kolom komentar!

Jangan lupa sertakan nama, kelas dan nama sekolahmu!