ATURAN PENCACAHAN (Bagian #2)

ATURAN PENCACAHAN (Bagian #2)

Materi Matematika Wajib Kelas XII SMA Negeri 1 Tanjung Batu

Oleh Ustadz MUTTAQIN Anang Toha

"Barangsiapa meminjami Allah dengan pinjaman yang baik maka Allah Melipatgandakan ganti kepadanya dengan banyak.” (QS. Al-Baqarah ayat 245).

Aturan Pencacahan (counting rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu.

Ada 4 jenis aturan pencacahan yang akan dibahas pada materi kali ini, yakni aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. 

C. PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi adalah susunan unsur berbeda yang dibentuk dari n unsur, diambil dari n unsur atau sebagian unsur dengan memperhatikan urutan unsur-unsur tersebut. Sedangkan kombinasi adalah susunan unsur berbeda yang dibentuk dari n unsur, diambil dari n unsur atau sebagian unsur tanpa memperhatikan urutan unsur-unsur tersebut.

Permutasi dan kombinasi dalam menuliskan rumusnya menggunakan notasi faktorial. Oleh karena itu, sebelum mempelajari permutasi dan kombinasi, ada baiknya jika kita membahas definisi dan notasi faktorial.

C.1. Definisi dan Notasi Faktorial

Perhatikan penulisan 5!, dalam pelajaran peluang 5! dibaca ”5 faktorial”. Penulisan tersebut merupakan penulisan dengan notasi faktorial. Adapun nilainya adalah sebagai berikut. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Secara umum, Notasi Faktorial didefinisikan sebagai berikut:

Untuk suatu n bilangan asli,

     n! = n x (n-1) x (n-2) x ….. x 2 x 1 atau

     n! = 1 x 2 x …. x (n-2) x (n-1) x n

Dimana, 0! = 1

Contoh:

1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2. 3! + 4! = (3 x 2 x 1) + (4 x 3 x 2 x 1) = 6 + 24 = 30

3. 7!/4! = (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (4 x 3 x 2 x 1) = 7 x 6 x 5 = 210

 

C.2. Permutasi

Permutasi dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam, yaitu 

1. Permutasi dari n elemen dimana tiap permutasi terdiri dari n elemen

2. Permutasi n elemen dimana tiap permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤ n

3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama

4. Permutasi Siklis

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

Contoh Soal:

1. Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara, panitia akan memasang kelima bendera dari lima negara yang hadir. Banyak cara panitia menyusun kelima bendera tersebut adalah…

Jawab:

Dari lima bendera yang ada, berarti n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin yaitu:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

 

2. Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan bendahara dari 8 siswa yang tersedia adalah…

Jawab:

Banyak siswa, n = 8

Ketua, sekretaris dan bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

Maka:

3. Banyak cara untuk menyusun dari kata ”BASSABASSI” adalah…

Jawab:

Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf (n) = 10

k₁ = huruf B = 2

k₂ = huruf A = 3

k₃ = huruf S = 4

k₄ = huruf I = 1

4. Dari 5 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang dapat dibuat dari 5 orang tersebut adalah...

Jawab:

Banyak orang (n) = 5, maka :

₅P_siklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

 

5. Banyak susunan 3 bilangan dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah…

Jawab:

Banyak susunan 3 bilangan, berarti bilangan ratusan, k = 3
Banyak angka yang akan disusun, n = 6
Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6:

P₆ = 6³ = 216 susunan.

Daftar #UmrohSamo_UMAT (Ustadz MUTTAQIN Anang Toha)

Latihan Soal

1. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu?

2. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Silahkan tulis jawaban anda di kolom komentar dengan menyertakan nama dan kelas!